terça-feira, março 12, 2013

A Máquina ou Nós (2ª Parte)


(2ª Parte)


Gödel, diga-se a apego da verdade, não tinha a aparência típica de um revolucionário. Magro, modos pacatos, falava pouco e preferia a solidão. Em Princeton, costumava abrigar-se na cantina para fugir aos visitantes sempre ansiosos por ver uma celebridade como ele. Apesar desses atributos, as suas proposições eram realmente revolucionárias - tanto que provocaram longas e acesas discussões, não apenas entre matemáticos, mas também entre os filósofos. A ideia de que é impossível provar por meios matemáticos que a Matemática não esteja em contradições mudou radicalmente muita coisa. E isso também noutras matérias, como no caso da Física e a Biologia.

Mas eis que uma outra luz se acende no infinito túnel do conhecimento. Recentemente, relativamente, alguns teoremas tidos como indemonstráveis (pelo menos pelos meios ortodoxos) têm sido provados com a ajuda de calculadoras ou computadores. Por exemplo, o teorema das quatro cores. Bastam quatro cores para colorir um mapa (ou uma colcha de retalhos) de modo que nenhum país seja vizinho de outro da mesma cor. Em 1976, os americanos Wolfgang Haken e Kenneth Apple demonstraram isso mesmo, através de um computador durante 1200 horas.

A Máquina ou Nós (2ª Parte) - Raquel Pimentel

Para muitos matemáticos, o uso de computadores em demonstrações desse tipo seria como usar um trator para escavar minuciosamente uma zona arqueológica. Acham que eles produzem uma cadeia finita de verificações, enquanto uma demonstração matemática deve ser breve, clara e concisa. Para mim, isso já é exagero. Encontramo-nos nos tempos modernos e por certo que neste século temos preocupações cuja resposta encontra-se na multidisciplinaridade. Mas é certo que jamais, como hoje, a intuição humana contrapôs-se à lógica mecânica. Quando Gödel garantia que os formalismos são limitados, no fundo estava a provar, em síntese, que o homem é e será sempre superior à máquina. Mesmo que a máquina seja a mais indicada para executar, cabe-nos, a nós humanos, pensar!



Fim



Devido à extensão do texto, resolvi dividir o post em duas partes. Para aceder à primeira parte desta publicação, clique em A Máquina ou Nós (1ª Parte)

domingo, março 10, 2013

A Máquina ou Nós (1ª Parte)


(1ª Parte)


No começo do século anterior, o matemático alemão David Hilbert (1862-1943) propôs uma série de 23 problemas que, previa ele, determinariam o rumo da Matemática nos anos seguintes. Uma frase do texto com que apresentou esses ditos problemas não passou despercebida: ‘Enquanto um ramo da ciência oferecer uma abundância de problemas (a resolver), ele permanece vivo’. Pois bem, em 1931, um então ainda jovem matemático austríaco, Kurt Gödel, apresentou um trabalho de algumas dezenas de páginas, cheias de símbolos, - e nele deixou claro que Hilbert não estava inteiramente certo nas suas conceções.

A Máquina ou Nós - Raquel Pimentel
Kurt Gödel (1906-1978)
Kurt Friedrich Gödel nasceu em 1906 na cidade de Brünn, na época inserida no território austro-húngaro (hoje Brno, sob o domínio à República Checa). Formou-se em Matemática e Física na Universidade de Viana e lá lecionou até 1938. Fugindo da guerra, viajou para os Estados Unidos, tornou-se cidadão americano e integrou-se ao famoso Institute for Advanced Study (Instituto dos Estudos Avançados da Universidade de Princeton). Morreu em 1978, aos 72 anos, e já então era tido como um revolucionário da ciência. A Matemática é considerada uma ciência sem contradições. Supõe-se que quando algo é provado matematicamente, aos olhos da Epistemologia fica irrefutável. Essa ‘crença’ gerou expressões populares do género ’tão certo como dois e dois quatro’. Gödel mostrou que mesmo dentro de um sistema rigidamente lógico, como o que foi desenvolvido para a Aritmética, podem ser formuladas proposições que são indecidíveis ou indemonstráveis, dentro dos axiomas desse sistema. Isto é, dentro do sistema existem enunciados precisos que não podem ser provados nem negados. Portanto, não se pode, usando os métodos comuns, provar que os axiomas da Aritmética não são autocontraditórios.

Essas teorias ou teoremas de Gödel conduziram a um novo ramo da lógica matemática, mais precisamente à teoria da indecidibilidade. Nas suas implicações desmarcadas pela incompletude, a descoberta de proposições indecidíveis foi tão perturbadora no século XX quanto deve ter sido para os pitagóricos, no século IV a.C., a revelação, por Hippasus (ver mitologia), da existência de grandezas incomensuráveis. Mas uma consequência que ultrapassa os limites da Matemática é a que parece condenar um perseguido ideal da ciência: inventar uma coleção de axiomas dos quais todos os fenómenos do mundo natural possam ser deduzidos. (continua...)


Fim da 1ª Parte


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